函數(shù)f（x）=（1+x-
x2
2
+
x3
3
）cos2x在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
 
．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：把函數(shù)分解為g（x）=1+x-
x2
2
+
x3
3
，h（x）=cos2x，利用導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)判斷即可．
解答： 解：∵函數(shù)f（x）=（1+x-
x2
2
+
x3
3
）cos2x，
∴設(shè)g（x）=1+x-
x2
2
+
x3
3
，h（x）=cos2x，
∴g′（x）=1-x+x2＞0恒成立，
即g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
g（0）=1，g（-1）=1-1-
1
2
-
1
3
＜0
有一個(gè)零點(diǎn)在（-1，0）
由cos2x=0求x的個(gè)數(shù)，由2x=kπ+
π
2
得x=
kπ
2
+
π
4
，k∈z，又x∈[-3，3]，∴
π
4
，
3π
4
，-
π
4
，-
3π
4
為零點(diǎn)
所以cos2x=0有4個(gè)零點(diǎn)，
g（-
π
4
）≠0，
可以判斷函數(shù)f（x）=（1+x-
x2
2
+
x3
3
）cos2x在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5個(gè)
故答案為：5
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，分類討論的數(shù)學(xué)思想，分解為簡(jiǎn)單的函數(shù)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖，△ADP為正三角形，O為正方形ABCD中心，而ADP⊥面ABCD，M為面ABCD內(nèi)的點(diǎn)，且滿足MP=MC．則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為（　�。�
A、
B、
C、
D、

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等差數(shù)列{an}中的a1、a4017是函數(shù)f（x）=
1
3
x3-4x2+6x-1的極值點(diǎn)，則log2a2009=（　�。�
A、2B、3C、4D、5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二階矩陣A屬于特征值-1的 一個(gè)特征向量為 
-1
 
3
，屬于特征值7的 一個(gè)特征向量為 
1
 
1

①求矩陣A；
②若方程滿足 AX=
7
14
，求X．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理做）已知函數(shù)f（x）=2x-2-|x|，
（1）若f（x）=0，求x的值；
（2）若對(duì)于t∈[1，2]時(shí)，不等式2f（2t）+mf（t）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=
3x
a
+
a
3x
是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：
①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1；
②對(duì)任意的m、n都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1成立．
求證：f（x）在R上是增函數(shù)．

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