Question

已知函數(shù)f（x）=

4x

2x2+m

在（

1

2

，f（

1

2

））處的切線方程為8x-9y+t=0（m∈N，t∈R）
（1）求m和t的值；
（2）若關于x的不等式f（x）≤ax+

8

9

在[

1

2

，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：分類討論,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出f（x）的導數(shù)，由題意可得，f（

1

2

）=

4

2m+1

，f′（

1

2

）=

8

9

，列出m，t的方程組，解方程即可；
（2）設h（x）=ax+

8

9

-

4x

1+2x2

，x≥

1

2

．求出導數(shù)，對x討論，若

1

2

≤x≤

2

2

，設g（x）=a-

4-8x2

(1+2x2)2

，求出g（x）的導數(shù)，判斷單調性，解不等式，對a討論，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的導數(shù)為f′（x）=

4m-8x2

(2x2+m)2

，
由題意可得，f（

1

2

）=

4

2m+1

，f′（

1

2

）=

8

9

，
即

4+t

9

=

4

2m+1

，且

4m-2

( 1 2 +m)2

=

8

9

，
由m∈N，則m=1，t=8；
（2）設h（x）=ax+

8

9

-

4x

1+2x2

，x≥

1

2

．
h（

1

2

）=

a

2

-

4

9

≥0，即a≥

8

9

，
h′（x）=a-

4-8x2

(1+2x2)2

，當a≥

8

9

時，若x＞

2

2

，h′（x）＞0，①
若

1

2

≤x≤

2

2

，設g（x）=a-

4-8x2

(1+2x2)2

，
g′（x）=-

16x(2x2-3)

(1+2x2)3

＜0，g（x）在[

1

2

，

2

2

]上遞減，且g（

1

2

）≥0，
則g（x）≥0，即h′（x）≥0在[

1

2

，

2

2

]上恒成立．②
由①②可得，a≥

8

9

時，h′（x）＞0，h（x）在[

1

2

，+∞）上遞增，h（x）≥h（

1

2

）=

a

2

-

4

9

≥0，
則當a≥

8

9

時，不等式f（x）≤ax+

8

9

在[

1

2

，+∞）恒成立；
當a＜

8

9

時，h（

1

2

）＜0，不合題意．
綜上可得a≥

8

9

．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調區(qū)間，主要考查不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)最值，正確求導和分類討論是解題的關鍵．