Question

【題目】已知拋物線E：，圓C：．

若過拋物線E的焦點(diǎn)F的直線l與圓C相切，求直線l方程；

在的條件下，若直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，x軸上是否存在點(diǎn)使為坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)

【解析】

求得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件：，解方程可得所求直線方程；設(shè)出A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，解方程可得t，即M的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論．

由題意可得拋物線的焦點(diǎn)，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過F的直線不可能與圓C相切，設(shè)直線的斜率為k，方程設(shè)為，

即，由圓心到直線的距離為，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得，

即直線方程為；

可設(shè)直線方程為，，，

聯(lián)立拋物線方程可得，則，，

x軸上假設(shè)存在點(diǎn)使，

即有，可得，

即為，

由，，

可得，

即，即，符合題意；

當(dāng)直線為，由對(duì)稱性可得也符合條件．

所以存在定點(diǎn)使得．