【題目】如圖,已知橢圓,分別為其左、右焦點,過的直線與此橢圓相交于兩點,且的周長為8,橢圓的離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點與點,過的動直線(不與軸平行)與橢圓相交于兩點,點是點關(guān)于軸的對稱點.求證:
(i)三點共線.
(ii).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
Ⅰ由三角形的周長可得,根據(jù)離心率可得,即可求出,則橢圓方程可求;Ⅱ當(dāng)直線l的斜率不存在時,A、B分別為橢圓短軸兩端點,滿足Q,A,三點共線當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,然后利用向量證明.由可知Q,A,三點共線,即,問題得以證明.
解:Ⅰ的周長為8,,即,
,,,
故橢圓C的方程為
Ⅱ證明:當(dāng)直線l的斜率不存在時,A、B分別為橢圓短軸兩端點,滿足Q,A,三點共線.
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線方程為,
聯(lián)立,得.
設(shè),,則,
,,
,,
.
與共線,則Q,A,三點共線.
由可知Q,A,三點共線,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點,點,分別為橢圓的左右頂點,直線交于點,是等腰直角三角形,且.
(1)求的方程;
(2)設(shè)過點的動直線與相交于,兩點,為坐標(biāo)原點.當(dāng)為直角時,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線E:,圓C:.
若過拋物線E的焦點F的直線l與圓C相切,求直線l方程;
在的條件下,若直線l交拋物線E于A,B兩點,x軸上是否存在點使為坐標(biāo)原點?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,點E、F分別在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.
(1)求異面直線AE與A1F所成角的大小;
(2)求平面AEF與平面ABC所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形,,,,點是的中點,現(xiàn)沿將平面折起,設(shè).
(1)當(dāng)為直角時,求直線與平面所成角的大;
(2)當(dāng)為多少時,三棱錐的體積為;
(3)在(2)的條件下,求此時二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”(簡稱“創(chuàng)城”)活動中,教委對本區(qū)四所高中學(xué)校按各校人數(shù)分層抽樣,隨機(jī)抽查了100人,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
學(xué)校 | ||||
抽查人數(shù) | 50 | 15 | 10 | 25 |
“創(chuàng)城”活動中參與的人數(shù) | 40 | 10 | 9 | 15 |
(注:參與率是指:一所學(xué)!皠(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值)假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與”創(chuàng)城”活動是相互獨立的.
(1)若該區(qū)共2000名高中學(xué)生,估計學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動的人數(shù);
(2)在隨機(jī)抽查的100名高中學(xué)生中,隨機(jī)抽取1名學(xué)生,求恰好該生沒有參與“創(chuàng)城”活動的概率;
(3)在上表中從兩校沒有參與“創(chuàng)城”活動的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求恰好兩校各有1人沒有參與“創(chuàng)城”活動的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】針對“中學(xué)生追星問題”,某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的,男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的,女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的.若有的把握認(rèn)為是否追星和性別有關(guān),則男生至少有( )
參考數(shù)據(jù)及公式如下:
A. 12B. 11C. 10D. 18
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把一系列向量按次序排成一排,稱之為向量列,記作,向量列滿足:
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)表示向量間的夾角,為與軸正方向的夾角,若,求.
(3)設(shè),問數(shù)列中是否存在最小項?若存在,求出最小項,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是平行四邊形,在平面上的射影為,且在上,且, ,是的中點,四面體的體積為.
(Ⅰ)求異面直線與所成的角余弦值;
(Ⅱ)求點到平面的距離;
(Ⅲ)若點是棱上一點,且,求的值.
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