Question

【題目】已知橢圓的離心率為，、分別為左、右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，是橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為-2．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的離心率得到的關(guān)系，再由的最小值為求得的值，則可求，橢圓方程可求；（2）由（1）知，則斜率不存在時(shí)，用坐標(biāo)分別表示出，直接求得；直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，消去得，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得的橫坐標(biāo)的積，把轉(zhuǎn)化為的橫坐標(biāo)的和與積的形式，代入后化為關(guān)于的函數(shù)式得答案．

試題解析：（1）根據(jù)題意知，即，

∴，則，

設(shè)，

∵，

，

∵，∴當(dāng)時(shí)，，

∴，則．

∴橢圓的方程為．

（2）由，，得，

∴，，

則直線斜率不存在時(shí)，

，，于是，．

直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，消去得

，

設(shè)，，則，，

∵，，

∴

．

∵，∴．

∴．

綜上知，．