Question

17．函數(shù) f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+{x}^{2}+1，x≤0}\\{{e}^{ax}，x＞0}\end{array}\right.$在[-2，3]上的最大值為2，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{3}$ln2，+∞）
• B． [0，$\frac{1}{3}$ln2]
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$ln2]

Answer 1

分析 求得f（x）在x≤0的導數(shù)和單調區(qū)間，求得當x∈[-2，0]上的最大值為2； 欲使得函數(shù)f（x）在[-2，3]上的最大值為2，則當x=3時，e^3a的值必須小于等于2，從而解得a的范圍．

解答 解：由題意，當x≤0時，f（x）=2x³+3x²+1，
可得f′（x）=6x²+6x，解得函數(shù)在[-1，0]上導數(shù)為負，函數(shù)為減函數(shù)；
在（-∞，-1]上導數(shù)為正，函數(shù)為增函數(shù)，
故函數(shù)在[-2，0]上的最大值為f（-1）=2；
故要使函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值為2，
則當x=3時，e^3a的值必須小于等于2，
即e^3a≤2，
解得a∈（-∞，$\frac{1}{3}$ln2]．
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)單調性的應用、函數(shù)最值的應用的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．