Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+x+a，g（x）=2a-x³（x∈R，a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）求函數(shù)f（x）的極值．
（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求出函數(shù)的極值，利用（1）的結(jié)論．
（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立轉(zhuǎn)化為不等式a≥x²+x恒成立，h（x）=x²+x，x∈[0，1]，利用導(dǎo)數(shù)，求出h（x）的最大值，問題得以解決．

解答： 解：（1）f（x）=-x³+x²+x+a，
f'（x）=-3x²+2x+1，
令f′(x)=-3x2+2x+1=0，得x1=-

1

3

，x2=1．
令f′(x)＞0，得-

1

3

＜x＜1．
令f′(x)＜0，得x＜-

1

3

，或x＞1．

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(- 1 3 ，1)， 單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，- 1 3 )與(1，+∞).

（2）由（1）可知，
當(dāng)x=-

1

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，函數(shù)的極小值為f(-

1

3

)=a-

5

27

當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，函數(shù)的極大值為f（1）=a+1，
（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，
即對(duì)于任意x∈[0，1]，不等式a≥x²+x恒成立，
設(shè)h（x）=x²+x，x∈[0，1]，
則h'（x）=2x+1，
∵x∈[0，1]，
∴h'（x）=2x+1＞0恒成立，
∴h（x）=x²+x在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
∴[h（x）]_max=h（1）=2
∴a≥2，
∴a的取值范圍是[2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題等等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．