Question

當(dāng)x∈[0，

7π

6

]時(shí)，討論關(guān)于x的方程2cos²x-sinx+α=0（α∈R）實(shí)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=sinx（0≤x≤

7π

6

），a=2(t+

1

4

)2-

17

8

，t∈[-

1

2

，1]，作出函數(shù)的圖象，通過(guò)討論a的范圍，得出方程的根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：有方程2cos²x-sinx+a=0可得a=-2cos²x+sinx，
∴a=2sin²x+sinx-2，
a=2(sinx+

1

4

)2-

17

8

，
∵0≤x≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sinx≤1，
-

17

8

≤2（sinx+

1

4

）²-

17

8

≤1，
令t=sinx（0≤x≤

7π

6

），
∴a=2(t+

1

4

)2-

17

8

，t∈[-

1

2

，1]，
畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖示：

（1）當(dāng)a≤-

17

8

或a＞1時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，得sinx=

1

2

或0，可得x=0或x=

7π

6

，即方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，得sinx=

3

2

或1，可得x=

π

2

，即方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根；  
（4）當(dāng)-

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8

＜a＜-2或-2＜a＜1時(shí)，每一個(gè)a值都對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的x值，即方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程根的存在性，考查了三角函數(shù)問(wèn)題，本題屬于中檔題．