Question

設無窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若對于任意不超過的正整數(shù)n，都有，證明：.

（Ⅲ）證明：（）的充分必要條件為.

Answer 1

（Ⅰ）解：由等比數(shù)列的，，

得，，，且當時，.           

      所以，，，且當時，.        

      即                                       

（Ⅱ）證明：因為 ，

所以 ，.            

因為 ，

所以 ，.                   

     由 ，得 .                                      

因為 ，

     所以 ，

     所以 ，即 .                     

（Ⅲ）證明：（充分性）因為 ，，

 所以 ，

 所以  對一切正整數(shù)n都成立.                   

因為 ，，

所以 .                                             

（必要性）因為對于任意的，，

當時，由，得；

當時，由，，得.

所以對一切正整數(shù)n都有.                              

由 ，，得對一切正整數(shù)n都有，          

所以公比為正有理數(shù).                                

假設 ，令，其中，且與的最大公約數(shù)為1.

因為是一個有限整數(shù)，

所以必然存在一個整數(shù)，使得能被整除，而不能被整除.

又因為，且與的最大公約數(shù)為1.

所以，這與（）矛盾.

所以.

因此，.