Question

11．設函數(shù)$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）-2{sin^2}\frac{ω}{2}x+1（ω＞0）$，直線$y=-\sqrt{3}$與函數(shù)f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π．
（1）求ω的值．
（2）求f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化簡，結合函數(shù)的圖象，直線$y=-\sqrt{3}$與函數(shù)f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π，即可得出周期，從而求出ω的值
（2）求出內層函數(shù)的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的圖象及性質，求解最值．

解答 解：由題意：函數(shù)$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）-2{sin^2}\frac{ω}{2}x+1（ω＞0）$，
化簡得f（x）=sinωxcos$\frac{π}{6}$+cosωxsin$\frac{π}{6}$+cosωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{3}{2}$cosωx
=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
（1）∵直線$y=-\sqrt{3}$與函數(shù)f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π，即圖象的最低點相鄰距離為π，
∴周期T=π=$\frac{2π}{ω}$，
解得：ω=2，
所以：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）當x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時，則2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為$\sqrt{3}$．
故f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的最大值為$\sqrt{3}$，最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡能力，性質的運用能力和對題目的理解，求出周期是關鍵．屬于中檔題．