Question

18．（1）求證：當a、b、c為正數(shù)時，（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）≥9
（2）已知x∈R，a=x²-1，b=2x+2，求證a，b中至少有一個不少于0．

Answer 1

分析 （1）通過展開左側表達式，利用基本不等式證明即可．
（2）利用反證法假設a，b中沒有一個不少于0，推出矛盾結果即可．

解答 （1）證明：左邊=$3+（{\frac{a}+\frac{a}}）+（{\frac{c}+\frac{c}}）+（{\frac{a}{c}+\frac{c}{a}}）$，
因為：a、b、c為正數(shù)
所以：左邊$≥3+2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}+2\sqrt{\frac{c}•\frac{c}}+2\sqrt{\frac{a}{c}•\frac{c}{a}}$=3+2+2+2=9，
∴$（{a+b+c}）（{\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}}）≥9$…（5分）
（2）證明：假設a，b中沒有一個不少于0，即a＜0，b＜0則：a+b＜0，
又a+b=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0，
這與假設所得結論矛盾，故假設不成立，
所以a，b中至少有一個不少于0．…（10分）

點評 本題考查不等式的證明，綜合法以及反證法的應用，考查邏輯推理能力．