Question

13．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\left.{\frac{π}{6}}）}\right.$，則雙曲線離心率的取值范圍是[$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 設(shè)F'為雙曲線的左焦點(diǎn)，連接AF'，BF'，AF⊥BF，可得四邊形AFBF'為矩形，可設(shè)AF=m，BF=n，由雙曲線的定義可得m-n=2a，m²+n²=4c²，解得m，n，在直角三角形ABF中，tan∠BAF=$\frac{BF}{AF}$，由正切函數(shù)值，解不等式，結(jié)合離心率公式，即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)F'為雙曲線的左焦點(diǎn)，連接AF'，BF'，AF⊥BF，
可得四邊形AFBF'為矩形，
可設(shè)AF=m，BF=n，
由雙曲線的定義可得m-n=2a，m²+n²=4c²，
由c²=a²+b²，
解得m=$\sqrt{2^{2}+{a}^{2}}$+a，n=$\sqrt{2^{2}+{a}^{2}}$-a，
在直角三角形ABF中，tan∠BAF=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2^{2}+{a}^{2}}-a}{\sqrt{2^{2}+{a}^{2}}+a}$，
由∠BAF∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$），可得2-$\sqrt{3}$≤$\frac{\sqrt{2^{2}+{a}^{2}}-a}{\sqrt{2^{2}+{a}^{2}}+a}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
化簡(jiǎn)可得（$\sqrt{3}$-1）$\sqrt{2^{2}+{a}^{2}}$≥（3-$\sqrt{3}$）a，
即有b²≥a²，即c²≥2a²，即有e≥$\sqrt{2}$，
又（$\sqrt{3}$-1）$\sqrt{2^{2}+{a}^{2}}$＞（1+$\sqrt{3}$）a，
可得b²＜（3+2$\sqrt{3}$）a²，即有c²＜（4+2$\sqrt{3}$）a²，
可得e＜1+$\sqrt{3}$，
綜上可得，e的范圍是[$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$）．
故答案為：[$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查雙曲線的定義和勾股定理的運(yùn)用，考查銳角的正切函數(shù)的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．