Question

18．如圖1，ABCD為長方形，AB=3，AD=$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點，且AE=CF=1，DE與AF相交于點G，將三角形ADF沿AF折起至ADF'，使得D'E=1，如圖2．
（1）求證：平面D'EG⊥ABCF平面；
（2）求平面D'EG與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AF⊥D′G，AF⊥GE，從而AF⊥平面D′EG，由此能證明平面D′EC⊥平面ABCF．
（2）以E為原點，分別以EG、EC、ED′為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面D'EG與平面所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）如圖1，在Rt△ADF和Rt△EAD中，
∵$\frac{DF}{AD}=\frac{AD}{AE}$=$\sqrt{2}$，∴△ADF∽△EAD，∴∠DAF=∠AED，
∴∠DAF+∠EAF=90°，∴∠AED+∠EAF=90°，
∴AF⊥DE，
如圖2，AF⊥D′G，AF⊥GE，
∵D′G∩GE=G，AF⊥平面D′EG，
∵AF?平面ABCF，∴平面D′EG⊥平面ABCF．
解：（2）∵AD''=$\sqrt{2}$，AE=1，D′E=1，∴D′E⊥AE，
由（1）知 AF⊥平面D′EG，∴AF⊥D′E，
∵AE∩AF=A，∴D′E⊥平面ABCF，
∵AE∥CF，且AE=CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AF∥EC，
∴D′E、EC、GE兩兩垂直，
以E為原點，分別以EG、EC、ED′為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則平面D′EG的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
又D′（0，0，1），C（0，$\sqrt{6}$，0），F(xiàn)（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0），
∴$\overrightarrow{{D}^{'}C}$=（0，$\sqrt{6}$，-1），$\overrightarrow{FC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），
設平面D′CF的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}^{'}C}=\sqrt{6}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{6}}{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}，1，\sqrt{6}$），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{3}$，
∴平面D'EG與平面所成銳二面角的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．