Question

17．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內(nèi)一直線平行即可，設PD的中點為E，連接AE、NE，易證AMNE是平行四邊形，則MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD，滿足定理所需條件；
（2）欲證平面PMC⊥平面PCD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PMC內(nèi)一直線與平面PCD垂直，而AE⊥PD，CD⊥AE，PD∩CD=D，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD，而MN∥AE，則MN⊥平面PCD，又MN?平面PMC，滿足定理所需條件．

解答 證明：（1）設PD的中點為E，連接AE、NE，
由N為PC的中點知EN平行且等于$\frac{1}{2}$DC，
又ABCD是矩形，∴DC平行且等于AB，∴EN平行且等于$\frac{1}{2}$AB
又M是AB的中點，∴EN平行且等于AM，
∴AMNE是平行四邊形
∴MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．

點評 本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及線面平行的判定，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．