Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)且離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖所示，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，，是橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)？若是，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是，直線過定點(diǎn)．

【解析】

（1）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得，解出，后即可得解；

（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程可得，，由題意可得，化簡(jiǎn)后可得或，分別代入直線方程即可得解.

（1）由題意可得，解得，，

則橢圓的方程為．

（2）由題意，直線的斜率存在，，

設(shè)直線的方程為，，，

聯(lián)立得，

．

，，

直線，的斜率分別為，，，

，

，

化簡(jiǎn)得，

，

化簡(jiǎn)得，即，

解得或．

將代入中，解得，

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，不符合題意．

故直線過定點(diǎn)．