Question

10．若過原點O的直線與圓C：（x-2）²+y²=1相交于P、Q兩點．
（1）求$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范圍；
（2）求△CPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l的斜率存在，設(shè)方程為y=kx，代入（x-2）²+y²=1，利用韋達(dá)定理，即可求$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范圍；（2）求出圓心到直線的距離，弦長，得到三角形CPQ的面積的表達(dá)式，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，直線l的斜率存在，設(shè)方程為y=kx，代入（x-2）²+y²=1，
可得（k²+1）x²+4x+3=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3}{{k}^{2}+1}$
∴$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（x₁-2）（x₂-2）+k²x₁x₂，
=（k²+1）x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=7+2×$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，
∵k²≥0，
∴7＜$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$≤15；
（2）圓C：（x-2）²+y²=1的圓心（2，0），半徑為1，
圓心到直線y=kx的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，半弦長為：$\sqrt{1-txjvhx9^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$，
∴△CPQ的面積S=$\frac{1}{2}•$2$\sqrt{1-ltdtbnb^{2}}$•d=$\sqrt{（1-9zrj9xr^{2}）hpbpbpz^{2}}$≤$\frac{1}{2}$
故當(dāng)1-d²=d²，即d²=$\frac{1}{2}$時，S取得最大值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．