Question

已知雙曲線C的方程為-=1，若直線x-my-3=0截雙曲線的一支所得弦長為5．
（I）求m的值；
（II）設過雙曲線C上的一點P的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于P₁，P₂，且點P分有向線段所成的比為λ（λ＞0）．當時，求||||（O為坐標原點）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由直線x-my-3=0可知：直線恒過定點焦點F₂（3，0）．于是直線與雙曲線的右支相交，設兩點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由雙曲線的第二定義可得：，即，同理．于是|AB|=|AF₂|+|BF₂|=，由題意可得：，由直線過焦點F₂（3，0），可知x₁=x₂=3，此時直線垂直于x軸，即可得出m的值．
（II）利用線段的定比分點坐標公式即可得出點P的坐標用P₁，P₂的坐標表示，代入雙曲線的方程即可得出x₁x₂，進而得出||||的最值．
解答：解：（I）由雙曲線C的方程為-=1可得a=2，，
∴c=3，．
左右焦點分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）．
由直線x-my-3=0可知：直線恒過定點焦點F₂（3，0）．
于是直線與雙曲線的右支相交，設兩點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由雙曲線的第二定義可得：，即，同理．
∴|AB|=|AF₂|+|BF₂|=，由題意可得：，∴|x₁+x₂|=6，
由直線過焦點F₂（3，0），可知x₁=x₂=3，
此時直線垂直于x軸，∴m=0．
（II）雙曲線C的漸近線方程分別為l₁：，l₂：．
設P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
且點P分有向線段所成的比為λ（λ＞0）．
則，，，．
由點P（x，y）在雙曲線上，∴，
化簡得，又=，同理可得：，
∴，
令u（x）=，
又u（λ）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，而λ∈，
∴u（λ）_min=u（1）=4，u（λ）_max==．
于是：的最大值為，最小值為9．
點評：熟練掌握雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、線段的定比分點坐標公式、函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關鍵．