Question

14．在曲線y=x²（x≥0）上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為$\frac{1}{12}$，試求：
（1）切點A的坐標(biāo)；
（2）過切點A的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求切點A的坐標(biāo)及過切點A的切線方程，先求切點A的坐標(biāo)，設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，a²），只須在切點處的切線方程，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線的方程進而求得面積的表達式．最后建立關(guān)于a的方程解之即得．
（2）結(jié)合（1）求出其斜率k的值即可，即導(dǎo)數(shù)值即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：（1）如圖示：
，
設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，a²），過點A的切線的斜率為k=y'|_x=a=2a，
故過點A的切線l的方程為y-a²=2a（x-a），即y=2ax-a²，令y=0，得x=$\frac{a}{2}$，
則S=S_△ABO-S_△ABC=-（$\frac{1}{2}$•$\frac{a}{2}$•a²-${∫}_{0}^{a}$x²dx）=$\frac{{x}^{3}}{3}$${|}_{0}^{a}$-$\frac{{a}^{3}}{4}$=$\frac{{a}^{3}}{12}$=$\frac{1}{12}$，
∴a=1
∴切點A的坐標(biāo)為（1，1），
（2）由（1）得：A的坐標(biāo)為（1，1），
∴k=2x=2，
∴過切點A的切線方程是y=2x-1．

點評 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、定積分的應(yīng)用、直線的方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．