函數(shù)f（x）=ax+
b
x
（a，b∈R），下列命題：
①當(dāng)a＞0，b＞0時，對函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)A，圖象上存在唯一的點(diǎn)B，使得tan∠AOB=
1
a
（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
②當(dāng)ab≠0時，函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)的切線與直線y=ax及y軸圍成的三角形面積是定值．
正確的是：
 
．
考點(diǎn)：函數(shù)的圖象
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：對于①不妨令y=x+
1
x
，此時a=1，然后由x+
1
x
-x=
1
x
，當(dāng)x→+∞時，
1
x
→0，可知y=x是函數(shù)y=x+
1
x
的漸近線；由此進(jìn)一步可以判斷該命題為假；
對于②先表示出任意一點(diǎn)處切線的方程，然后求出該切線與y=ax，y軸的交點(diǎn)，則三角形的三個交點(diǎn)可以求出，面積可求．
解答： 解：對于①：令f（x）=x+
1
x
，則再令g（x）=x，則f（x）-g（x）=
1
x
，
當(dāng)x→+∞時，
1
x
→0，
∴g（x）=x是函數(shù)y=x+
1
x
的漸近線，做出函數(shù)f（x）的圖象如下：

此時可以看出，在函數(shù)f（x）圖象上任取兩點(diǎn)A，B，∠AOB＜
π
4
或∠AOB＞
3π
4
π，
∴tan∠AOB＞1或-1＜tan∠AOB＜0，即此時不存在這樣的兩點(diǎn)A，B，使得tan∠AOB=
1
a
=1，故①為假命題；
對于②，由題意設(shè)切點(diǎn)為（x0，ax0+
b
x0
），y′=a-
b
x2
，
∴切線方程為y-（ax0+
b
x0
）=（a-
b
x02
）（x-x0），
直線y=ax，聯(lián)立得交點(diǎn)為（2x0，2ax0），
令x=0得切線與y軸交點(diǎn)為（0，
2b
x0
），原點(diǎn)為（0，0），
∴圍成的三角形面積為
1
2
•
2b
x0
•2ax0=2ab是定值，
∴②是真命題．
故答案為：②．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的圖象，考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值、切線中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，有一定難度．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2•3n-1，cn=an+（-1）nlnan．求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）的圖象如圖，則f（x）的解析式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，第n行共有n個數(shù)，且該行的第一個數(shù)和最后一個數(shù)都是n，中間任意一個數(shù)都等于第n-1行與之相鄰的兩個數(shù)的和，an，1，an，2…an，n（n=1，2，…）分別表示第n行的第一個數(shù)，第二個數(shù)，…第n個數(shù)，則an，2（n≥2且?∈N）的表達(dá)式（　�。�
A、an，2=
n2-n
2
B、an，2=
n2+n-2
2
C、an，2=
n2+n-4
2
D、an，2=
n2-n+2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在一次研究性學(xué)習(xí)中，老師給出函數(shù)f（x）=
x
1+|x|
（x∈R），四個小組的同學(xué)在研究此函數(shù)時，討論交流后分別得到一下四個命題：
①函數(shù)f（x）的值域是（-1，1）；
②若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
③若規(guī)定f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn-1（x）），則fn（x）=
x
1+n|x|
對任意的n∈N*恒成立；
④若實(shí)數(shù)a，b滿足f（a-1）+f（b）=0，則a+b等于1．
你認(rèn)為上述四個命題中正確的序號有
 
．（填寫出正確的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2alnx-x2+1
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值；
（3）若f（x）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=[2log4（2x）-（2a+1）]•log2x+3，x∈[
32
，8]
（1）若f（x）的最小值記為h（a），求h（a）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n同時滿足以下條件：
①log3m＞log3n＞1；
②當(dāng)h（a）的定義域?yàn)閇n，m]時，值域?yàn)閇n2，m2]．若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=k（x-
1
x
）-lnx，k∈R．
（Ⅰ）若f（x）與x軸相切于點(diǎn)（1，f（1），求f（1））的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
A
2
sinx+
3
A
2
cosx，且f（
π
6
）=3．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（θ）-f（-θ）=
3
，θ∈（0，
π
2
），求f（
π
3
-θ）的值．

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同步練習(xí)冊答案