Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2x，過點(2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．

(1)證明：坐標原點O在圓M上；

(2)設圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）證明略；（2）直線的方程為，圓的方程為.或直線的方程為，圓的方程為

試題分析：（1）設出點的坐標，聯立直線與拋物線的方程，由斜率之積為可得，即得結論；（2）結合（1）的結論求得實數的值，分類討論即可求得直線的方程和圓的方程.

試題解析：（1）設，.

由 可得，則.

又，故.

因此的斜率與的斜率之積為，所以.

故坐標原點在圓上.

（2）由（1）可得.

故圓心的坐標為，圓的半徑.

由于圓過點，因此，故，

即，

由（1）可得.

所以，解得或.

當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.

當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓 的方程為.

【名師點睛】直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；在解決直線與拋物線的位置關系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證或說明中點在曲線內部.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數．

（1）若，求a的值；

（2）設m為整數，且對于任意正整數n，，求m的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）由原函數與導函數的關系可得x=a是在的唯一最小值點，列方程解得；

（2）由題意結合（1）的結論對不等式進行放縮，求得，結合可知實數的最小值為.

試題解析：（1）的定義域為.

①若，因為，所以不滿足題意；

②若，由知，當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，故x=a是在的唯一最小值點.

由于，所以當且僅當a=1時，.故a=1.

（2）由（1）知當時，.

令得.從而

.

故.

而，所以的最小值為.