Question

已知橢圓C₁的方程為，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點，  
（Ⅰ）求雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+與橢圓C₁及雙曲線C₂都恒有兩個不同的交點，且l與C₂的兩個交點A和B滿足（其中O為原點），求k的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C₂的方程為，
則，
再由，得，
故C₂的方程為；
（Ⅱ）將代入得，
由直線l與橢圓C₁恒有兩個不同的交點得，即，  ①
將代入得，
由直線l與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A，B，
得，
即，
設(shè)，
則，
由，
而  

，
于是，
解此不等式得，      ③
由①、②、③得，
故k的取值范圍為。