【題目】已知點F1、F2為雙曲線b0)的左、右焦點,過F2作垂直于x軸的直線,在x軸上方交雙曲線C于點M,且∠MF1F2=30°,圓O的方程是x2+y2=b2

1)求雙曲線C的方程;

2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為P1、P2,求的值;

3)過圓O上任意一點Q作圓O的切線l交雙曲線CA、B兩點,AB中點為M,求證:|AB|=2|OM|

【答案】(1);(2)-;(3)見解析

【解析】

1)解:設(shè)F2,M的坐標分別為,再通過雙曲線的定義和解三角形得到雙曲線C的方程為;(2)設(shè)雙曲線C上的點Px0,y0),設(shè)兩漸近線的夾角為θ,再求出的值,即得的值;(3)由題意,即證:OAOB,分y0≠0和y0=0兩種情況證明,原題即得證.

1)解:設(shè)F2M的坐標分別為

因為點M在雙曲線C上,所以,即,所以

RtMF2F1中,,,所以

由雙曲線的定義可知:

故雙曲線C的方程為:

2)解:由條件可知:兩條漸近線分別為

設(shè)雙曲線C上的點Px0y0),設(shè)兩漸近線的夾角為θ,則

則點P到兩條漸近線的距離分別為

因為Px0y0)在雙曲線C上,所以,又

所以=cos(π-θ)=-=-

3)證明:由題意,即證:OAOB

設(shè)Ax1y1),Bx2y2),切線l的方程為:x0x+y0y=2

①當(dāng)y0≠0時,切線l的方程代入雙曲線C中,化簡得:

所以:,

所以

②當(dāng)y0=0時,易知上述結(jié)論也成立.所以

綜上,OAOB,所以

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中,,,且的最小值為,的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,的圖象關(guān)于原點對稱.

(1)求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)在中,角所對的邊分別為,且,求.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱錐中,底面為等邊三角形,分別是的中點.

1)證明:平面平面

2)如何在上找一點,使平面并說明理由;

3)若,對于(2)中的點,求三棱錐的體積.

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【題目】如圖,在四棱錐中,已知底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=2,AB=2,AD=4,且EF分別是PB、PC的中點。

(1)求三棱錐的體積;

(2)求直線EC與平面PCD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司為了應(yīng)對金融危機,決定適當(dāng)進行裁員,已知這家公司現(xiàn)有職工人(,且10的整數(shù)倍),每人每年可創(chuàng)利100千元,據(jù)測算,在經(jīng)營條件不變的前的提下,若裁員人數(shù)不超過現(xiàn)有人數(shù)的30%,則每裁員1人,留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利1千元(即若裁員人,留崗員工可多創(chuàng)利潤千元);若裁員人數(shù)超過現(xiàn)有人數(shù)的30%,則每裁員1人,留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利2千元(即若裁員人,留崗員工可多創(chuàng)利潤千元),為保證公司的正常運轉(zhuǎn),留崗的員工數(shù)不得少于現(xiàn)有員工人數(shù)的50%,為了保障被裁員工的生活,公司要付給被裁員工每人每年20千元的生活費.

1)設(shè)公司裁員人數(shù)為,寫出公司獲得的經(jīng)濟效益(千元)關(guān)于的函數(shù)(經(jīng)濟效益=在職人員創(chuàng)利總額被裁員工生活費);

2)為了獲得最大的經(jīng)濟效益,該公司應(yīng)裁員多少人?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】上海途安型號出租車價格規(guī)定:起步費元,可行千米;千米以后按每千米按元計價,可再行千米;以后每千米都按元計價。假如忽略因交通擁擠而等待的時間.

請建立車費(元)和行車里程(千米)之間的函數(shù)關(guān)系式;

注意到上海出租車的計價系統(tǒng)是以元為單位計價的,如:小明乘坐途安型號出租車從華師大二附中本部到浦東實驗學(xué)校走路線一(路線一總長千米)須付車費元,走路線二(路線二總長千米)也須付車費.將上述函數(shù)解析式進行修正(符號表示不大于的最大整數(shù),符號表示不小于的最小整數(shù));并求小明乘坐途安型號出租車從華師大二附中本部到閔行分校須付車費多少元?(注:兩校區(qū)路線長千米)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局于2004531日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗》國家標準.新標準規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升,小于毫克/百毫升為飲酒駕車,血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升為醉酒駕車.經(jīng)過反復(fù)試驗,喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”如下圖,該函數(shù)近似模型如下:

又已知剛好過1小時時測得酒精含量值為毫克/百毫升.根據(jù)上述條件,解答以下問題:

1)試計算喝1瓶啤酒多少小時血液中的酒精含量達到最大值?最大值是多少?

2)試計算喝1瓶啤酒后多少小時后才可以駕車?(時間以整分鐘計算)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給定數(shù)列,記該數(shù)列前中的最大項為,即,該數(shù)列后中的最小項為,記;

1)對于數(shù)列:34,7,1,求出相應(yīng)的,;

2)若是數(shù)列的前項和,且對任意,有,其中為實數(shù),,.

(ⅰ)設(shè),證明:數(shù)列是等比數(shù)列;

(ⅱ)若數(shù)列對應(yīng)的滿足對任意的正整數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)為提高生產(chǎn)質(zhì)量,引入了一批新的生產(chǎn)設(shè)備,為了解生產(chǎn)情況,隨機抽取了新、舊設(shè)備生產(chǎn)的共200件產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測,統(tǒng)計得到產(chǎn)品的質(zhì)量指標值如下表及圖(所有產(chǎn)品質(zhì)量指標值均位于區(qū)間內(nèi)),若質(zhì)量指標值大于30,則說明該產(chǎn)品質(zhì)量高,否則說明該產(chǎn)品質(zhì)量一般.

質(zhì)量指標

頻數(shù)

2

8

10

30

20

10

合計

80

(1)根據(jù)上述圖表完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為產(chǎn)品質(zhì)量高與引人新設(shè)備有關(guān);

新舊設(shè)備產(chǎn)品質(zhì)量列聯(lián)表

產(chǎn)品質(zhì)量高

產(chǎn)品質(zhì)量一般

合計

新設(shè)備產(chǎn)品

舊設(shè)備產(chǎn)品

合計

(2)從舊設(shè)備生產(chǎn)的質(zhì)量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品中,按分層抽樣抽取6件產(chǎn)品,再從這6件產(chǎn)品中隨機選取2件產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測,求至少有一件產(chǎn)品質(zhì)量指標值位于的概率.

附:.

0.10

0.05

0.01

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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