設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）證明： （）的充分必要條件為；
（Ⅲ）若對(duì)于任意不超過(guò)的正整數(shù)n，都有，證明：.

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）答案詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由已知得，，，，又，根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)，得，，.進(jìn)而求；（Ⅱ）充分性的證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/28/e/bngtc.png" style="vertical-align:middle;" />，且，故，從而；必要性的證明，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f4/2/1nzpk3.png" style="vertical-align:middle;" />，故，又，，則有；（Ⅲ）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），可求得，由取整函數(shù)得，，故，要證明，只需證明，故可聯(lián)想到，則；
試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的，，所以，，.
所以，，.則.
（Ⅱ）證明：（充分性）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c8/e/bjl0c4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以對(duì)一切正整數(shù)n都成立.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/49/a/klnoe1.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以.
（必要性）因?yàn)閷?duì)于任意的，，
當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，，得.
所以對(duì)一切正整數(shù)n都有.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3a/8/pz9qb2.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以對(duì)一切正整數(shù)n都有.
（Ⅲ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/17/a/1fal93.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f6/4/sz3ti.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，.由，得.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a1/f/vkadw1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以，即.
考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、數(shù)列前n項(xiàng)和；3、充要條件.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)C1、C2、…、Cn、…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線y＝x相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn＋1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn}為遞增數(shù)列．

(1)證明：{rn}為等比數(shù)列；
(2)設(shè)r1＝1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足, 且,其中.
(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2) 設(shè)數(shù)列滿足,是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
(3) 令,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,其中,證明：。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，已知.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，
（Ⅰ）求數(shù)列通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若等差數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足：
（1）求的值；
（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）令（），如果對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，
（1）若是常數(shù)，問(wèn)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，函數(shù)有最大值，并求出取最大值時(shí)的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)對(duì)同時(shí)滿足條件：（甲）取最大值時(shí)的值與取最小值的值相同，（乙）？
（3）把滿足條件（甲）的實(shí)數(shù)對(duì)的集合記作A，設(shè)，求使的的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在等比數(shù)列中，，
（1）和公比；
（2）前6項(xiàng)的和．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為，為其前n項(xiàng)和，且滿足,．?dāng)?shù)列滿足,， 為數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有
的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案