Question

8．設(shè)單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角是$\frac{2π}{3}$，若（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$），則實數(shù)k的值是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 首先求出單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的數(shù)量積，再根據(jù)（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）數(shù)量積為0，得到關(guān)于k 的方程解之即可．，

解答 解：因為單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角是$\frac{2π}{3}$，所以$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=1×1×cos\frac{2π}{3}=-\frac{1}{2}$，并且（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
所以（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，展開得$k{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-2{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+（1-2k）\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=0$，即k-2-$\frac{1}{2}$（1-2k）=0，
解得k=$\frac{5}{4}$；
故答案為：$\frac{5}{4}$

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用以及向量垂直的性質(zhì)；屬于常規(guī)題．