Question

12．設(shè)離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是E上一點(diǎn)，PF₁⊥PF₂，△PF₁F₂內(nèi)切圓的半徑為$\sqrt{2}$-1．
（1）求E的方程；
（2）矩形ABCD的兩頂點(diǎn)C、D在直線y=x+2，A、B在橢圓E上，若矩形ABCD的周長(zhǎng)為$\frac{11\sqrt{2}}{3}$，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率求得a=$\sqrt{2}$c，根據(jù)勾股定理及橢圓的定義，求得a-c=$\sqrt{2}$-1．b²=a²-c²=1，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得丨AB丨，由兩平行之間的距離公式，由矩形的周長(zhǎng)公式2（丨AB丨+d）=$\frac{11\sqrt{2}}{3}$，代入即可求得m的值，求得直線AB的方程．

解答 解：（1）∵離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，①
由PF₁⊥PF₂，則丨PF₁丨²+丨PF₂丨²=丨F₁F₂丨²=4c²，
由橢圓的定義可知；丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，則丨F₁F₂丨²=（丨PF₁丨+丨PF₂丨）²-2丨PF₁丨•丨PF₂丨，
∴丨PF₁丨•丨PF₂丨=2a²-2c²，
，△PF₁F₂的面積S，S=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨•丨PF₂丨=$\frac{1}{2}$×R×（丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨F₁F₂丨），
則a-c=$\sqrt{2}$-1．②
由①②解得：a=$\sqrt{2}$，c=1，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）由題意設(shè)直線l的方程：y=x+m，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=16m²-4×3（2m²-2）=-2m²+3＞0，解得-$\sqrt{3}$＜m＜$\sqrt{3}$，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
則丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{4m}{3}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-2}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3-{m}^{2}}}{3}$，
直線AB，CD之間的距離d=$\frac{丨m-2丨}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}丨m-2丨}{2}$，
由矩形ABCD的周長(zhǎng)為$\frac{11\sqrt{2}}{3}$，則2（丨AB丨+d）=$\frac{11\sqrt{2}}{3}$，
則2（$\frac{4\sqrt{3-{m}^{2}}}{3}$+$\frac{\sqrt{2}丨m-2丨}{2}$）=$\frac{11\sqrt{2}}{3}$，解得：m=1，
則直線AB的方程為y=x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，屬于中檔題．