Question

已知函數(shù)f（x）=3sin（

1

2

x+

π

4

），x∈R．
（1）用“五點(diǎn)法”作出在一個(gè)周期內(nèi)f（x）的簡圖．（列表、作圖）；
（2）寫出f（x）的對稱軸方程、對稱中心及單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到f（x）=3sin（

1

2

x+

π

4

），x∈R的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）求出對應(yīng)的五點(diǎn)，利用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)y=f（x）在一個(gè)周期上的圖象．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的解析式的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π，
由

1

2

x+

π

4

=0，

π

2

，π，

3π

2

，π，2π，解得x=-

π

2

，

π

2

，

3π

2

，

5π

2

，

7π

2

．列表如下：

x	- π 2	π 2	3π 2	5π 2	7π 2
1 2 x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
3sin（ 1 2 x+ π 4 ）	0	3	0	-3	0

描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并光滑連線，得到一個(gè)周期的簡圖．圖象如下．
（2）由

1

2

x+

π

4

=2kπ+

π

2

，解得x=4kπ+

π

2

，即函數(shù)的對稱軸方程為x=4kπ+

π

2

，k∈Z．

1

2

x+

π

4

=2kπ，解得x=4kπ-

π

2

，即函數(shù)的對稱中心為（4kπ+

π

2

，0），k∈Z．
由2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

π

2

≤x≤4kπ+

5π

2

，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]（k∈Z）．
（3）方法一：先把y=sinx的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到f（x）的圖象．
方法二：先把y=sinx的圖象所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再把圖象向左平移

π

2

個(gè)單位，得到f（x）的圖象．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握五點(diǎn)作圖法．