Question

7．一汽車銷售公司對開業(yè)5年來某種型號的汽車“五一”優(yōu)惠金額與銷售量之間的關(guān)系進行分析研究并做了記錄，得到如下資料．

日期	第1年	第2年	第3年	第4年	第5年
優(yōu)惠金額x（千元）	10	11	13	12	8
銷售量y（輛）	23	25	30	26	16

該公司所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．
（1）若選取的是第1年與第5年的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)其余三年的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2輛，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（1）中所得的線性回歸方程是否可靠？
相關(guān)公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（2）由（1）中線性回歸方程求出x=10時與x=8時y的值，比較誤差即可．

解答 解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{3}$×（11+13+12）=12，
$\overline{y}$=$\frac{1}{3}$×（25+30+26）=27，
$\sum_{i=1}^{3}$x_iy_i=（11×25+13×30+12×26）=977，
$\sum_{i=1}^{3}$${{x}_{i}}^{2}$=11²+13²+26²=434，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^3{{x_i}{y_i}-3\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^3{x_i^2-3{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{977-3×12×27}{{434-3×{{12}^2}}}=2.5$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$=27-2.5×12=-3，
∴線性回歸方程是$\hat y=2.5x-3$；
（2）由（1）知：當(dāng)x=10時，y=2.5×10-3=22，誤差不超過2輛；
當(dāng)x=8時，y=2.5×8-3=17，誤差不超過2輛；
故所求得的線性回歸方程是可靠的．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．