Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，最小正周期為π．利用周期公式求ω的值，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)三角函數(shù)平移變換的規(guī)律，求出g（x）的解析式和周期以及g（x）零點(diǎn)，根據(jù)y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)零點(diǎn)可得范圍．求出b的最小值．

解答 解：（1）由題意得：f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$
=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx$-\frac{π}{3}$）
由最小正周期為π=$\frac{2π}{2ω}$，得ω=1，
得f（x）=2sin（2x$-\frac{π}{3}$）
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．
整理得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是$[kπ+\frac{5π}{12}，kπ+\frac{11π}{12}]$，k∈Z．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=2sin2x+1的圖象，
∴g（x）=2sin2x+1．
令g（x）=0，得x=kπ+$\frac{7π}{12}$或x=kπ+$\frac{11π}{12}$（k∈Z），
∴y=g（x）在[0，π]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，
若y=g（x）在[0，b]上至少有10個(gè)零點(diǎn)，
則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，
即b的最小值為4π+$\frac{11π}{12}$=$\frac{59π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，確定函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．