【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求a,b的值;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;
(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.
【答案】
(1)解:因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),
所以f(0)=0,即 =0,解得b=1,
由f(﹣1)=﹣f(1),得 ,解得a=2,
所以a=2,b=1,
即有f(x)= 為奇函數(shù),
故a=2,b=1
(2)解:f(x)為R上的減函數(shù),證明如下:
由(1)知f(x)= =﹣ ,
設(shè)x1<x2,
則f(x1)﹣f(x2)=(﹣ )﹣(﹣ )= ,
因?yàn)閤1<x2,所以 >0, ,2{x2+1>0,
所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)為減函數(shù)
(3)解:因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0可化為f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),
又由(2)知f(x)為減函數(shù),所以t2﹣2t>k﹣2t2,即3t2﹣2t>k恒成立,
而3t2﹣2t=3 ﹣ ,
所以k<
【解析】(1)由f(x)為R上的奇函數(shù)得f(0)=0,f(﹣1)=﹣f(1),解出方程可得a,b值;(2)由(1)知f(x)= =﹣ ,利用單調(diào)性定義可作出判斷;(3)由f(x)的奇偶性可得,f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0等價(jià)于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),根據(jù)單調(diào)性可去掉符號(hào)“f”,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決即可;
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題“求方程5x+12x=13x的解”有如下的思路:方程5x+12x=13x可變?yōu)椋? )x+( )x=1,考察函數(shù)f(x)=( )x+( )x可知f(2)=1,且函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,所以原方程有唯一解x=2.仿照此解法可得到不等式:lgx﹣4>2lg2﹣x的解集為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解答題
(1)若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓 左頂點(diǎn),求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若某雙曲線與橢圓 共焦點(diǎn),且以 為漸近線,求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中直線的傾斜角為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),以坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線相交于兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn),且.
(1)平面直角坐標(biāo)系中,求直線的一般方程和曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1﹣x)其中(a>0且a≠1).
(1)判斷f(x)﹣g(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(2)求使f(x)﹣g(x)>0成立的x的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是( )
A.y=3﹣x
B.y=x2+1
C.y=
D.y=﹣x2+1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)為, 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求過(guò)點(diǎn),且與相切的圓的方程;
(2)過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn), 關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,求證:直線過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知x,y滿足約束條件 ,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)在該約束條件下取到最小值2 時(shí),a2+b2的最小值為( )
A.5
B.4
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 , 的夾角為120°,| |=2,| |=3,記| =3 ﹣2 , =2 +k .
(1)若 ⊥ ,求實(shí)數(shù)k的值.
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得 ∥ ?說(shuō)明理由.
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