Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=2，an+1=2an+2n+2(n∈N*)．
（I）設bn=

an

2n

證明：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的通項公式,等差關系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）根據(jù)等差數(shù)列的定義可證{b_n}為等差數(shù)列，先求出b_n，即可求得a_n；
（II）用錯位相減法即可求得求和．

解答： （I）證明：∵bn+1-bn=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

2an+2n+2

2n+1

-

an

2n

=

2an+2n+2-2an

2n+1

=2，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，
∴a_n=（2n-1）•2ⁿ．
（II）解：設Sn=1•21+3•22+…+(2n-1)•2n，
則2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：
-S_n=2+2•2²+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6，

點評：本題考查數(shù)列遞推式、等差數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和，若{a_n}為等差數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列，則{a_n•b_n}的前n項和宜用錯位相減法，學生應該熟練掌握．