Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（Ⅰ）證明：{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記${b_n}=\frac{1}{{{{[{{log}_2}（{a_n}+1）]}^2}+{{log}_2}（{a_n}+1）}}$，設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前項和，證明：S_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因為a_n+1=2a_n+1，所有$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=\frac{{2{a_n}+1+1}}{{{a_n}+1}}=2$，即{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．即可求得通項．
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，累加即可求和，證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）因為a_n+1=2a_n+1，所有$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=\frac{{2{a_n}+1+1}}{{{a_n}+1}}=2$．…（2分）
又a₁+1=2，所以{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．…（4分）
${a_n}+1=2•{2^{n-1}}={2^n}$，因此求{a_n}得通項公式${a_n}={2^n}-1$．…（6分）
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以${S_n}=（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}$． …（10分）
因為n∈N^*，所以S_n＜1．…（12分）

點評 本題考查了利用數(shù)列遞推式求通項、考查了裂項求和，屬于中檔題．