Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x-1|，x∈R
（Ⅰ）求不等式|f（x）-3|≤4的解集；
（Ⅱ）若f（x）+f（x+3）≥m²-2m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意可得 0≤f（x）≤7，即0≤|x-1|≤7，-7≤x-1≤7，由此求得x的范圍．
（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求得g（x）=|x-1|+|x+2|的最小值為3，可得m²-2m≤3，由此求得m的范圍．

解答 解：（ I）由|f（x）-3|≤4 知-4≤f（x）-3≤4，即-1≤f（x）≤7．
又f（x）≥0，故 0≤f（x）≤7，∴0≤|x-1|≤7，-7≤x-1≤7，∴-6≤x≤8，
∴所求不等式的解集為{x|-6≤x≤8}．
（ II）由f（x）+f（x+3）≥m²-2m，即|x-1|+|x+2|≥m²-2m恒成立．
令g（x）=|x-1|+|x+2|，則g（x）的最小值為|（x-1）-（x+2）|=3，∴m²-2m≤3，求得-1≤m≤3，
∴m的取值范圍是{m|-1≤m≤3}．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．