19.已知函數(shù)f(x)=$\frac{lnx}{x}$-aex
(1)當(dāng)a=$\frac{1}{e}$時(shí),求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在[e,+∞)上為減函數(shù),求a的取值范圍.

分析 (1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為f′(x)≤0在[e,+∞)上恒成立,求出f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的符號(hào),求出a的范圍即可.

解答 解:(1)當(dāng)$a=\frac{1}{e}$時(shí),函數(shù)$f(x)=\frac{lnx}{x}-\frac{e^x}{e}$,則${f^'}(x)=\frac{1-lnx}{x^2}-\frac{e^x}{e}$,
當(dāng)0<x<1時(shí),$\frac{1-lnx}{x^2}>1$,$\frac{e^x}{e}<1$,所以f′(x)>0;
當(dāng)x=1時(shí),f′(x)=0;
當(dāng)x>1時(shí),$\frac{1-lnx}{x^2}<0$,$\frac{e^x}{e}>0$,所以f′(x)<0
所以f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù),
所以最大值為f(1)=-1.
(2)f(x)在[e,+∞)上為減函數(shù),
即f′(x)≤0在[e,+∞)上恒成立,
則${f^'}(x)=\frac{1-lnx}{x^2}-a{e^x}=\frac{{1-lnx-a{x^2}{e^x}}}{x^2}$.
①當(dāng)a≥0時(shí),因?yàn)閤∈[e,+∞),所以1-lnx≤0,-ax2ex≤0,
所以f′(x)≤0,符合題意;
②當(dāng)a<0時(shí),f′(e)=-aee>0,
與f′(x)≤0在[e,+∞)上恒成立矛盾,不符合題意.
綜合可知,a的取值范圍是[0,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.

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