Question

若兩曲線在交點(diǎn)P處的切線互相垂直，則稱呼兩曲線在點(diǎn)P處正交．設(shè)橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）與雙曲線

x2

2

-y²=1在交點(diǎn)處正交，則橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1的離心率為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  3

  -1

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）與雙曲線

x2

2

-y²=1的交點(diǎn)P（x₀，y₀），橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1在點(diǎn)P處的切線斜率k1=-

x0b

4y0

，雙曲線

x2

2

-y2=1在點(diǎn)P處的切線斜率k2=

x0

2y0

，由此利用橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）與雙曲線

x2

2

-y²=1在交點(diǎn)處正交，能求出橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1的離心率．

解答： 解：設(shè)橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）與雙曲線

x2

2

-y²=1的交點(diǎn)P（x₀，y₀），
解方程組

x2 4 + y2 b =1 x2 2 -y2=1

，得

x02= 4b2+4 b2+2 y02= b2 b2+2

，
橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1在點(diǎn)P處的切線方程為：

x0x

4

+

y0y

b2

=1，斜率k1=-

x0b

4y0

，
雙曲線

x2

2

-y2=1在點(diǎn)P處的切線方程為：

x0x

2

-y0y=1，斜率k2=

x0

2y0

，
∵橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）與雙曲線

x2

2

-y²=1在交點(diǎn)處正交，
∴k₁k₂=-

x0b

4y0

•

x0

2y0

=-1，
∴bx 02=8y 02，∴b（

4b2+4

b2+2

）=8（

b2

b2+2

），解得b=1，
∴橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1的離心率e=

c

a

=

4-1

2

=

3

2

．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意直線方程的靈活運(yùn)用．