Question

10．在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2asinθ（a≠0），以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=2t+3\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；
（2）若直線l與圓C恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=2t+3\end{array}\right.$消去參數(shù)t可得：直線的普通方程為2x-y-1=0．由ρ=2asinθ（a≠0）得：ρ²=2aρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）由直線與圓C恒有公共點(diǎn)，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=2t+3\end{array}\right.$消去參數(shù)t得：$x-2=\frac{y-3}{2}$，
∴直線的普通方程為2x-y-1=0．
由ρ=2asinθ（a≠0）得：ρ²=2aρsinθ，
∴x²+y²=2ay，
∴圓C的平面直角坐標(biāo)方程為x²+（y-a）²=a²．
（2）∵直線與圓C恒有公共點(diǎn)，
∴$\frac{|-a-1|}{{\sqrt{5}}}≤|a|$．
解得：$a≥\frac{{1+\sqrt{5}}}{4}$或$a≤\frac{{1-\sqrt{5}}}{4}$．
∴a的取值范圍是$（-∞，\frac{{1-\sqrt{5}}}{4}]∪[\frac{{1+\sqrt{5}}}{4}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．