Question

1．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，且θ∈（0，π），求下列各式的值：
（1）sinθcosθ；
（2）cos²θ-sin²θ；
（3）sin³θ-cos³θ．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，把表達式平方化簡求解即可．
（2）判斷三角函數(shù)符號，求解cosθ-sinθ的值，即可求解結(jié)果．
（3）利用（1）（2）的結(jié)果，化簡求解即可．

解答 解：（1）${（sinθ+cosθ）^2}=\frac{1}{25}$得$1+2sinθcosθ=\frac{1}{25}$，
于是sinθcosθ=$-\frac{12}{25}$．
（2）因為θ∈（0，π），sinθ＞0，sinθcosθ=$-\frac{12}{25}＜0$
所以cosθ＜0，cosθ-sinθ＜0
而${（cosθ-sinθ）^2}=1-2sinθcosθ=\frac{49}{25}$
所以$cosθ-sinθ=-\frac{7}{5}$
∴${cos^2}θ-{sin^2}θ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=-\frac{7}{25}$，
（3）sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ）
=$\frac{7}{5}×（1-\frac{12}{25}）=\frac{91}{125}$．

點評 本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用，三角函數(shù)化簡求值，考查計算能力．