Question

6．已知函數(shù)f（x）=alnx-2x²（a∈R）
（1）求f（x）的極值；
（2）設g（x）=f（x）+3x²+$\frac{2}{x}$，g（x）的導數(shù)為g′（x），對于兩個不相等的正數(shù)x₁，x₂，求證：當a≤4時|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

Answer 1

分析 （1）求導，f′（x）=$\frac{a}{x}$-4x=$\frac{a-4{x}^{2}}{x}$，分類當a≤0，f′（x）＜0，函數(shù)無極值，當a＞0，f′（x）=0，求得可能的極值點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的極值；
（2）求得g（x），求導，|g′（x₁）-g′（x₂）|=|x₁-x₂||2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|，欲證|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂|．只需證|2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＞1，根據(jù)基本不等式的關系，只要證：2+$\frac{4}{（\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}）^{3}}$-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，構(gòu)造輔助函數(shù)，t=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$，求導μ′（t）=4t（3t-2），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得函數(shù)的極小值，f（x）_極小值=$\frac{38}{27}$＞1，即可證明|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-4x=$\frac{a-4{x}^{2}}{x}$，
若a≤0，則f′（x）＜0恒成立，
則f（x）在（0，+∞），上為單調(diào)遞減函數(shù)，既無極小值也無極大值；
當a＞0，f′（x）=$\frac{（\sqrt{a}-2x）（\sqrt{a}+2x）}{x}$，
令f′（x）=0，求得x=$\frac{\sqrt{a}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
當0＜x$\frac{\sqrt{a}}{2}$時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當x＞$\frac{\sqrt{a}}{2}$，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
x=$\frac{\sqrt{a}}{2}$處f（x）取極大值，極大值為f（$\frac{\sqrt{a}}{2}$）=aln$\frac{\sqrt{a}}{2}$-$\frac{a}{2}$，無極小值，
證明：（2）g（x）=x²+$\frac{3}{x}$+alnx，
求導g（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$，
∴|g′（x₁）-g′（x₂）|=|2x₁-$\frac{2}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{a}{{x}_{1}}$-（2x₂-$\frac{2}{{x}_{2}^{2}}$+$\frac{a}{{x}_{2}}$）|，
=|x₁-x₂||2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|，
由|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂|，
∴|2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＞1，
2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞2+$\frac{4}{（\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}）^{3}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$≥2+$\frac{4}{（\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}）^{3}}$-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
設t=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$，μ（t）=2+4t³-4t²，（t＞0），
μ′（t）=4t（3t-2），
列表如下：

t	（0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，+∞）
μ′（t）	-	0	+
μ（t）	↓	極小值$\frac{38}{27}$	↑

∴μ（x）≥$\frac{38}{27}$＞1，即2+$\frac{4}{（\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}）^{3}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞1，|2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＞1，
∴|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂||2+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＞|x₁-x₂|．
∴a≤4時，|g′（x₁）-g′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值及單調(diào)性，考查導數(shù)的應用，考查計算能力，分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．