解答:
解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=a
xlna+2x-lna=2x+(a
x-1)lna.
令h(x)=f'(x)=2x+(a
x-1)lna,h'(x)=2+a
xln
2a,
當(dāng)a>0,a≠1時,h'(x)>0,所以h(x)在R上是增函數(shù),…(2分)
又h(0)=f'(0)=0,所以,f'(x)>0的解集為(0,+∞),f'(x)<0的解集為(-∞,0),
故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)…(4分)
(Ⅱ)因為存在x
1,x
2∈[-1,1],使得|f(x
1)-f(x
2)|≥e-1成立,
而當(dāng)x∈[-1,1]時|f(x
1)-f(x
2)|≤f(x)
max-f(x)
min,
所以只要f(x)
max-f(x)
min≥e-1…(6分)
又因為x,f'(x),f(x)的變化情況如下表所示:
x |
(-∞,0) |
0 |
(0,+∞) |
f'(x) |
- |
0 |
+ |
f(x) |
減函數(shù) |
極小值 |
增函數(shù) |
所以f(x)在[-1,0]上是減函數(shù),在[0,1]上是增函數(shù),
所以當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)的最小值f(x)
min=f(0)=1,
f(x)的最大值f(x)
max為f(-1)和f(1)中的最大值.…(8分)
因為
f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(+1+lna)=a--2lna,
令
g(a)=a--2lna(a>0),因為
g′(a)=1+-=(1-)2>0,
所以
g(a)=a--2lna在a∈(0,+∞)上是增函數(shù).
而g(1)=0,故當(dāng)a>1時,g(a)>0,即f(1)>f(-1);
當(dāng)0<a<1時,g(a)<0,即f(1)<f(-1)…(10分)
所以,當(dāng)a>1時,f(1)-f(0)≥e-1,即a-lna≥e-1,
而函數(shù)y=a-lna在a∈(1,+∞)上是增函數(shù),解得a≥e;
當(dāng)0<a<1時,f(-1)-f(0)≥e-1,即
+lna≥e-1,函數(shù)
y=+lna在a∈(0,1)上是減函數(shù),解得
0<a≤.
綜上可知,所求a的取值范圍為
(0,]∪[e,+∞).…(12分)