Question

1．已知曲線C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1（y≥0），直線l：y=kx+1與曲線C交于A，D兩點，A，D兩點在x軸上的射影分別為點B，C．記△OAD的面積S₁，四邊形ABCD的面積為S₂．
（Ⅰ）當點B坐標為（-1，0）時，求k的值；
（Ⅱ）若S₁=$\frac{{2\sqrt{30}}}{7}$，求線段AD的長；
（Ⅲ）求$\frac{S_1}{S_2}$的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意B（-1，0），將x=-1代入橢圓方程，即可求得A點坐標，代入直線方程，即可求得k的值；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由題意求得k的取值范圍，利用韋達定理及弦長公式求得丨AD丨，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得k的值，求得丨AD丨，
（Ⅲ）求得，四邊形ABCD的面積為S₂，求得$\frac{S_1}{S_2}$的表達式，由k的取值范圍，即可求得$\frac{S_1}{S_2}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意，y=kx+1與曲線C交于A，D兩點，A，D兩點在x軸上的射影分別為點B，C．點B坐標為（-1，0），
則點A的橫坐標為-1，代入曲線C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1（y≥0），解得點A的縱坐標為x=$\frac{3}{2}$，
即A（-1，$\frac{3}{2}$）
∵點A在直線y=kx+1，則有：$\frac{3}{2}$=k×（-1）+1，
∴解得k=-$\frac{1}{2}$，
k的值-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由題意，k不存在時，四邊形ABCD也不存在，則k必須存在．
設點A（x_A，y_A），點D（x_D，y_D），則點B（x_A，0），點C（x_D，0）
直線l：y=kx+1與曲線C交于A，D兩點，
A，D兩點代入曲線C，即$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（3+4k²）x²+8kx-8=0，
由直線l經過橢圓左右頂點時，k=±$\frac{1}{2}$，
則-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{1}{2}$，
解得：x_A+x_D=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x_Ax_D=$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，|AD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{96（2{k}^{2}+1）}}{3+4{k}^{2}}$，
△OAD的面積為S₁，設原點（0，0）到直線l：y=kx+1距離為h，
則h=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
S₁=$\frac{{2\sqrt{30}}}{7}$=$\frac{1}{2}$|AD|•h=$\frac{2\sqrt{6}（2{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{{2\sqrt{30}}}{7}$，整理得：40k⁴+11k²-2=0，則k²=$\frac{1}{8}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，|AD|=$\frac{6\sqrt{15}}{7}$，
∴線段AD的長$\frac{6\sqrt{15}}{7}$；
（Ⅲ）由題意及（i）：可知：S₂=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）丨x₁-x₂丨，
則$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{\frac{1}{2}丨{x}_{1}-{x}_{2}丨}{\frac{1}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）丨{x}_{1}-{x}_{2}丨}$=$\frac{1}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
由y₁+y₂=kx₁+1+kx₂+1=k（x₁+x₂）+2，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{1}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{1}{k×（-\frac{8k}{3+4{k}^{2}}）+2}$=$\frac{3+4{k}^{2}}{6}$，
由-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{S_1}{S_2}$≤$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}$的取值范圍[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．

點評 本題考查直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查了圓錐曲線的簡單性質，考查弦長公式的應用，體現(xiàn)了“設而不求”的解題思想方法，計算量大，化簡復雜，屬于難題．