如圖,在三棱錐P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,AQ=2BD,PD與EQ交于點G,PC與FQ交于點H,連結(jié)GH.
(1)求證:AB∥GH;
(2)求平面PAB與平面PCD所成角的正弦值.
(1)詳見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)欲證結(jié)合條件中出現(xiàn)的中點,因此可以考慮利用三角形的中位線性質(zhì)定理來證明線線平行:由
,
,
,
分別是
,
,
,
的中點,可知
,
,故
,從而有
平面
,再根據(jù)性質(zhì)“一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行”,可知
平面
,平面
平面
,故有
;(2)根據(jù)條件
為
中點及
可知
,再結(jié)合條件
平面
,因此可以以
為坐標(biāo)原點,分別以
,
,
所在直線為
軸,
軸,
軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)
,則可知
為平面
的一個法向量,再設(shè)平面
的一個法向量為
,由
,
,得
,取
,得
,因此兩個法向量夾角的余弦值
,從而平面
與平面
所成角的正弦值為
.
試題解析:(1)∵,
,
,
分別是
,
,
,
的中點, 1分
∴,
, 2分 ∴
,
又∵平面
,
平面
, ∴
平面
, 3分
又∵平面
,平面
平面
, 4分 ∴
,
又∵,∴
; 6分
(2)在中,∵
,
,∴
,即
,
又∵平面
,∴
,
,
兩兩垂直,
以為坐標(biāo)原點,分別以
,
,
所在直線為
軸,
軸,
軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)
,則
,
,
,
,
,(注:坐標(biāo)寫對給2分)
∴,
, 8分
設(shè)平面的一個法向量為
,
由,
,得
,取
,得
, 10分
又∵為平面
的一個法向量,∴
,
故平面與平面
所成角的正弦值為
. 12分
考點:1.線線平行的證明;2.利用空間向量求線面角.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
把復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記為
,已知
,則
等于( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省襄陽市四校高二下學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若橢圓經(jīng)過原點,且焦點分別為 則該橢圓的短軸長為( )
A、 B、
C、
D、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省襄陽市四校高二下學(xué)期期中聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
給定兩個命題,
.若
是
的必要而不充分條件,則
是
的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省襄陽市四校高二下學(xué)期期中聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若曲線在點
處的切線方程是
,則( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省武漢市高三9月調(diào)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
正方形的四個頂點,
,
,
分別在拋物線
和
上,
如圖所示.若將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中,則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省武漢市高三9月調(diào)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
在△ABC中,,
,
,則BC邊上的高等于( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省武漢市高三9月調(diào)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
一組樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省咸寧市高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
若,
,
,則從小到大的順序為 _________.
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