Question

在直角坐標系xoy上取兩個定點A₁（-2，0），A₂（2，0），再取兩個動點N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3．
（1）求直線A₁N₁與A₂N₂交點的軌跡M的方程；
（2）已知點A（1，t）（t＞0）是軌跡M上的定點，E，F(xiàn)是軌跡M上的兩個動點，如果直線AE的斜率k_AE與直線AF的斜率k_AF滿足k_AE+k_AF=0，試探究直線EF的斜率是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先分別求直線A₁N₁與A₂N₂的方程，進而可得y2=-

mn

4

(x2-4)，利用mn=3，可以得

x2

4

+

y2

3

=1，又點A₁（-2，0），A₂（2，0）不在軌跡M上，故可求軌跡方程；
（2）先求點A的坐標(1，

3

2

)，將直線AE的方程代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理，利用k_AE+k_AF=0得k_AF=-k，從而可表示直線EF的斜率，進而可判斷直線EF的斜率為定值．

解答：解：（1）依題意知直線A₁N₁的方程為：y=

m

2

(x+2)①---（1分）
直線A₂N₂的方程為：y=-

n

2

(x-2)②----------（2分）
設Q（x，y）是直線A₁N₁與A₂N₂交點，①×②得y2=-

mn

4

(x2-4)
由mn=3整理得

x2

4

+

y2

3

=1-----------------（5分）
∵N₁，N₂不與原點重合∴點A₁（-2，0），A₂（2，0）不在軌跡M上-----------------（6分）
∴軌跡M的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）-----------------------------------（7分）
（2）∵點A（1，t）（t＞0）在軌跡M上∴

1

4

+

t2

3

=1解得t=

3

2

，即點A的坐標為(1，

3

2

)--（8分）
設k_AE=k，則直線AE方程為：y=k(x-1)+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0----------------------------------（10分）
設E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F），∵點A(1，

3

2

)在軌跡M上，
∴xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

------③，yE=kxE+

3

2

-k④--------------（11分）
又k_AE+k_AF=0得k_AF=-k，將③、④式中的k代換成-k，
可得xF=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，yF=-kxF+

3

2

+k------------（12分）
∴直線EF的斜率KEF=

yF-yE

xF-xE

=

-k(xF+xE)+2k

xF-xE

∵xE+xF=

8k2-6

4k2+3

，xF-xE=

24k

4k2+3

∴KEF=

-k• 8k2-6 4k2+3 +2k

24k 4k2+3

=

-k(8k2-6)+2k(4k2+3)

24k

=

1

2

即直線EF的斜率為定值，其值為

1

2

---（14分）

點評：本題主要考查交軌法求軌跡方程，應注意純粹性，（2）的關鍵是求出直線EF的斜率的表示，通過化簡確定其偉定值，考查了學生的計算能力，有一定的綜合性．