Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，經(jīng)過F₂作一條斜率為-1的直線，與橢圓相交于A，B兩點，且△ABF₁的周長為8；
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，4a=8，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）可得F₂（1，0），直線AB的方程為：y=-（x-1）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：7x²-8x-8=0，利用根與系數(shù)的關系、弦長公式即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，4a=8，a²=b²+c²，
解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）可得F₂（1，0），直線AB的方程為：y=-（x-1）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：7x²-8x-8=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁•x₂=-$\frac{8}{7}$，
∴|AB|=$\sqrt{2[（\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）]}$=$\frac{24}{7}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．