Question

已知數列{a_n}的前項n和為S_n，滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n∈N^*）．
（1）求S₁，S₂，S₃；
（2）求S_n；
（3）設b_n=（2n+1）an2，求證：對任意正整數n，有b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

考點：數學歸納法,數列遞推式,數列與不等式的綜合

專題：計算題,證明題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）運用數列的通項和前n項和的關系，即可求出S₁，S₂，S₃；
（2）猜想：Sn=-

n

n+1

．用數學歸納法證明，注意解題步驟第二步與第三步的運用；
（3）求出b_n，并寫成兩項的差，運用裂項相消求和，即可得證．

解答： 解：（1）當n=1時，S1+

1

S1

+2=S1，
∴S1=-

1

2

，
當n＞1時，Sn+

1

Sn

+2=Sn-Sn-1，
∴Sn=-

1

2+Sn-1

，
∴S2=-

2

3

，S3=-

3

4

．                           
（2）猜想：Sn=-

n

n+1

．
下面用數學歸納法證明：
當n=1，S1=-

1

2

顯然成立；
假設當n=k時命題成立，即Sk=-

k

k+1

，
那么當n=k+1時，Sk+1=-

1

2+Sk

=-

1

2- k k+1

=-

k+1

k+2

，
即n=k+1時命題也成立，
綜上可知，Sn=-

n

n+1

．                           
（3）由（2）知an=Sn+

1

Sn

+2=-

1

n(n+1)

，
∴bn=(2n+1)an2=

2n+1

n2(n+1)2

=

(n+1)2-n2

n2(n+1)2

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，
∴b1+b2+…+bn=

1

12

-

1

22

+

1

22

-

1

32

+…+

1

n2

-

1

(n+1)2

=1-

1

(n+1)2

，
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

點評：本題考查數列的通項和前n項和的關系，考查運用數學歸納法證明猜想，考查數列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．