Question

5．已知定義域為R的函數f（x）=$\frac{{-{2^x}+2b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）關于x的不等式f（x）-t²+$\frac{1}{2}$t＜0，對任意x∈R恒成立，求t取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意：f（x）是定義域為R的奇函數，則有f（x）=0，f（-1）=-f（1），從而可以求出a，b的值；
（2）求解f（x）的最大值，從而求t取值范圍．

解答 解：（1）由題意：f（x）是定義域為R的奇函數，則有f（x）=0，即-2⁰+2b=0，解得：b=$\frac{1}{2}$，
則$f（x）=\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+a}$
∵f（x）是奇函數：f（-1）=-f（1），即$\frac{-2+1}{4+a}=\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+a}$，解得：a=2．
所以：$f（x）=\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$
∵$f（x）=\frac{-{2}^{-x}+1}{{2}^{-x+1}+2}$=$\frac{-\frac{1}{{2}^{x}}+1}{\frac{2}{{2}^{x}}+2}=\frac{{2}^{x}-1}{2•{2}^{x}+2}=-f（x）$
因此：a，b的值分別為2，$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得：$f（x）=\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{2（{2}^{x}+1）}$=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$
∵$\frac{1}{{2}^{x}+1}$∈（0，1）
∴$f（x）∈（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$
不等式f（x）-t²+$\frac{1}{2}$t＜0轉化為$f（x）＜{t}^{2}-\frac{1}{2}t$，對任意x∈R恒成立．
則：${t}^{2}-\frac{1}{2}t≥\frac{1}{2}$
解得：t≥1或$t≤-\frac{1}{2}$
故得t取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

點評 本題主要考查了函數的奇偶性的運用能力和函數的最值問題，不等式恒成立問題．屬于中檔題．