Question

已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，O為圓心，AB=2，BC=6，AD=CD=4．
（1）求∠BAD的大小和半徑AO的長；
（2）若

AO

=x

AB

+y

AD

，求x+y的值；
（3）若P是弧BAD上的動點，

OP

=λ

OB

+μ

OD

，求λ+μ的最大值和最小值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）連結(jié)BD，在△ABD和△CBD中，通過余弦定理可得∠BAD的大小，利用正弦定理即可求解半徑AO的長；
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OD所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，利用

AO

=x

AB

+y

AD

，列出方程組即可求x+y的值；
（3）設(shè)P（Rcosθ，Rsinθ），利用

OP

=λ

OB

+μ

OD

，求出λ+μ的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的值域求解其最大值和最小值．

解答： 解：（1）連結(jié)BD，在△ABD和△CBD中，
由余弦定理可得：
BD²=AB²+AD²-2AD•ABcos∠BAD=4+16-16cos∠BAD，
BD²=CB²+CD²-2CD•CBcos∠BCD=36+16+cos∠BAD，
∴4+16-16cos∠BAD=36+16+cos∠BAD
∴cos∠BAD=-

1

2

，
∴∠BAD=120°．
從而BD=2

7

，AO=

7

sin120°

=

2 21

3

．
（2）在三角形AOD中，由余弦定理可知：cos∠AOD=

1

7

＞0，sin∠AOD=

4 3

7

，
以O(shè)為坐標(biāo)原點，OD所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
則D(

2 21

3

，0)，A(

2 21

21

，

8 7

7

)，B(-

21

3

，

7

)，
由

AO

=x

AB

+y

AD

，
得

-2=-9x+12y 8=-x-y

得x=-

94

21

，y=-

74

21

，
x+y=-8．
（3）設(shè)P（Rcosθ，Rsinθ），θ∈[0，

2π

3

]，
由

OP

=λ

OB

+μ

OD

，
得

Rcosθ=- 1 2 Rλ+μR Rsinθ= 3 2 λR

∴λ+μ=

2 3

3

sinθ+cosθ=2sin(θ+

π

6

)
∵θ∈[0，

2π

3

]
∴（λ+μ）_max=2，（λ+μ）_min=1．

點評：本題考查余弦定理以及正弦定理向量的相等關(guān)系的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．