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【題目】如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側面都是矩形，E是CD的中點，，

.

（1）求證：；

（2）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.

【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，由已知得，，所以利用線面平行的判定得平面，再利用線面垂直的性質，得；第二問，可以利用傳統(tǒng)幾何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面和平面的法向量，利用夾角公式列出方程，通過解方程，求出線段的長度..

（1）證明：∵底面和側面是矩形，

∴，

又∵

∴平面 3分

∵平面∴ ． 6分

（2）

解法1：延長，交于，連結，

則平面平面

底面是矩形，是 的中點，，∴連結，則

又由（1）可知

又∵，

∴底面，∴∴平面 9

過作于，連結，則是平面與平面即平面與平面所成銳二面角的平面角，所以

又，∴

又易得，，從而由，求得． 12分

解法2：由（1）可知

又∵，∴底面 7分

設為的中點，以為原點，以，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系如圖． 8分

設，則，，，，

設平面的一個法向量

∵，

由，得

令，得 9分

設平面法向量為，因為 ，，

由 得令，得． 10分

由平面與平面所成的銳二面角的大小為，

得 ，解得． 即線段的長度為． 12分

練習冊系列答案
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A. 函數（）存在1級“理想區(qū)間”

B. 函數（）不存在2級“理想區(qū)間”

C. 函數（）存在3級“理想區(qū)間”

D. 函數， 不存在4級“理想區(qū)間”

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（2）求三棱錐的體積．

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D.y=

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