Question

已知函數(shù)f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1處取到極值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設函數(shù)g（x）=lnx+

a

x

，若對任意的x₁∈[-1，1]，總存在x₂∈[1，e]，使得g（x₂）≤f（x₁）+

7

2

，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）利用函數(shù)的求導公式計算函數(shù)的導數(shù)，根據函數(shù)在x=1處取到極值得出函數(shù)在x=1處的導數(shù)為0，再把x=2代入函數(shù)，聯(lián)立兩式求出m，n的值即可．已知函數(shù) f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1處取到極值2．
（2）由（1）知f（x）的定義域為R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）為奇函數(shù)．f（0）=0，x＞0時，f（x）＞0，f（x）=

4

x+ 1 x

≤2．當且僅當x=1時取“=”．故f（x）的值域為[-2，2]．從而f（x₁）+

7

2

≥

3

2

．依題意有g（x）_最小值≤

3

2

．

解答： 解：（1）f′(x)=

m(x2+n)-2mx2

(x2+n)2

=

-mx2+mn

(x2+n)2

…（2分）
由f（x）在x=1處取到極值2，故f′（1）=0，f（1）=2即

mn-m (1+n)2 =0 m 1+n =2

，
解得m=4，n=1，經檢驗，此時f（x）在x=1處取得極值．故f(x)=

4x

x2+1

…（4分）
（2）由（1）知f（x）的定義域為R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）為奇函數(shù)．f（0）=0，x＞0時，f（x）＞0，f（x）=

4

x+ 1 x

≤2．當且僅當x=1時取“=”．
故f（x）的值域為[-2，2]．從而f（x₁）+

7

2

≥

3

2

．依題意有g（x）_最小值≤

3

2

函數(shù)g（x）=lnx+

a

x

的定義域為（0，+∞），g′（x）=

x-a

x2

①當a≤1時，g′（x）＞0函數(shù)g（x）在[1，e]上單調遞增，其最小值為g（1）=a≤1＜

3

2

合題意；
②當1＜a＜e時，函數(shù)g（x）在[1，a）上有g′（x）＜0，單調遞減，在（a，e]上有g′（x）＞0，單調遞增，所以函數(shù)g（x）最小值為f（a）=lna+1，由lna+1≤

3

2

，得0＜a≤

e

．從而知1＜a≤

e

符合題意．
③當a≥e時，顯然函數(shù)g（x）在[1，e]上單調遞減，其最小值為g（e）=1+

a

e

≥2＞

3

2

，不合題意（11分）
綜上所述，a的取值范圍為a≤

e

（12分）

點評：本題考查導數(shù)的性質的應用，考查一個函數(shù)小于另一個函數(shù)時，小于它的最小值．要會利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性．