Question

17．已知動圓C經(jīng)過點（1，0），且與直線x=-1相切，設圓心C的軌跡E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（m≠0）與曲線E相交于A，B兩個不同點，以AB為直徑圓經(jīng)過原點，證明：直線l必過一個定點．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義可知軌跡為以（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，
（2）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系得出A，B的坐標，根據(jù)OA⊥OB列方程得出k與m的關系，從而確定直線l的定點．

解答 解：（1）∵圓C經(jīng)過點（1，0），與直線x=-1相切，
∴圓心C到點（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
∴圓心C的軌跡是以（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，
∴曲線E的方程為y²=4x．
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4-2km}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=2m²+$\frac{4m-2k{m}^{2}}{k}$，
∵以AB為直徑圓經(jīng)過原點，∴OA⊥OB，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$+2m²+$\frac{4m-2k{m}^{2}}{k}$=0，∴m（m+4k）=0，
∵m≠0，∴m=-4k，
∴直線l的方程為y=kx-4k，即y=k（x-4），
直線l過定點（4，0）．

點評 本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．