Question

12．如圖，由若干個(gè)小正方形組成的k層三角形圖陣，第一層有1個(gè)小正方形，第二層有2個(gè)小正方形，依此類推，第k層有k個(gè)小正方形，除去最底下的一層，每個(gè)小正方形都放置在它下一層的兩個(gè)小正方形之上．現(xiàn)對(duì)第k層的每個(gè)小正方形用數(shù)字進(jìn)行標(biāo)注，從左到右依次記為x₁，x₂，…x_k，其中x_i∈{0，1}（1≤i≤k），其它小正方形標(biāo)注的數(shù)字是它下面兩個(gè)小正方形標(biāo)注的數(shù)字之和，依此規(guī)律，記第一層的小正方形標(biāo)注的數(shù)字為x₀；
（1）當(dāng)k=4時(shí)，若要求x₀為2的倍數(shù)，則有多少種不同的標(biāo)注方法？
（2）當(dāng)k=11時(shí)，若要求x₀為3的倍數(shù)，則有多少種不同的標(biāo)注方法？

Answer 1

分析 （1）確定x₀=x₁+3x₂+3x₃+x₄．因?yàn)閤₀為2的倍數(shù)，所以x₁+x₂+x₃+x₄是2的倍數(shù)，則x₁，x₂，x₃，x₄四個(gè)都取0或兩個(gè)取0兩個(gè)取1或四個(gè)都取1，即可得到標(biāo)注方法；
（2）確定只要x₁+C₁₀¹x₂+C₁₀⁹x₁₀+x₁₁是3的倍數(shù)，即只要x₁+x₂+x₁₀+x₁₁是3的倍數(shù)，所以x₁、x₂、x₁₀、x₁₁四個(gè)都取0或三個(gè)取1一個(gè)取0，而其余七個(gè)可以取0或1，即可得到標(biāo)注方法．

解答 解：（1）當(dāng)k=4時(shí)，第4層標(biāo)注數(shù)字依次為x₁，x₂，x₃，x₄，第3層標(biāo)注數(shù)字依次為x₁+x₂，x₂+x₃，x₃+x₄，第2層標(biāo)注數(shù)字依次為x₁+2x₂+x₃，x₂+2x₃+x₄，所以x₀=x₁+3x₂+3x₃+x₄．
因?yàn)閤₀為2的倍數(shù)，所以x₁+x₂+x₃+x₄是2的倍數(shù)，則x₁，x₂，x₃，x₄四個(gè)都取0或兩個(gè)取0兩個(gè)取1或四個(gè)都取1，所以共有1+C₄²+1=8種標(biāo)注方法．
（2）當(dāng)k=11時(shí)，第11層標(biāo)注數(shù)字依次為x₁，x₂，…，x₁₁，第10層標(biāo)注數(shù)字依次為x₁+x₂，x₂+x₃，…，x₁₀+x₁₁，第9層標(biāo)注數(shù)字依次為x₁+2x₂+x₃，x₂+2x₃+x₄，…，x₉+2x₁₀+x₁₁，以此類推，可得x₀=x₁+C₁₀¹x₂+…+C₁₀⁹x₁₀+x₁₁．
因?yàn)镃₁₀²=C₁₀⁸=45，C₁₀³=C₁₀⁷=120，C₁₀⁴=C₁₀⁶=210，C₁₀⁵=252均為3的倍數(shù)，所以只要x₁+C₁₀¹x₂+C₁₀⁹x₁₀+x₁₁是3的倍數(shù)，即只要x₁+x₂+x₁₀+x₁₁是3的倍數(shù)，
所以x₁、x₂、x₁₀、x₁₁四個(gè)都取0或三個(gè)取1一個(gè)取0，而其余七個(gè)可以取0或1，這樣共有（1+C₄³）×2⁷=640種標(biāo)注方法．

點(diǎn)評(píng) 本題考查進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．