拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，O為坐標原點；當拋物線上點N的縱坐標為1時，|NF|=2，已知直線l經(jīng)過拋物線C的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點
（1）求拋物線C的方程；
（2）若△AOB的面積為4，求直線l的方程．
（1）由已知得焦點F(0，
p
2
)，準線方程為y=-
p
2
，
由拋物線的定義及點N的縱坐標為1，得|NF|=
p
2
+yN=
p
2
+1
又|NF|=2，
∴
p
2
+1=2∴p=2，
∴拋物線的方程為x2=4y（4分）
（2）依題意設(shè)直線l的方程為：y=kx+1（k必存在）
y=kx+1
x2=4y
⇒x2-4kx-4=0，…（6分）
則△=16k2+16＞0，
設(shè)直線l與拋物線的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），
則有x1+x2=4k，x1x2=-4，…（8分）
∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=4(1+k2)…（10分）
∵O到AB的距離d=
1
k2+1
，
∴S△AOB=
1
2
|AB|d=2
k2+1
=4，
∴k=±
3
，
∴直線方程為y=±
3
x+1…..（12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在同一坐標系中，方程
x2
a2
+
y2
b2
=1與bx2=-ay（a＞b＞0）表示的曲線大致是（　�。�
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的離心率為e，點F為其下焦點，點O為坐標原點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）試用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F1、F2，過F1作直線交橢圓于P、Q兩點，△F2PQ的周長為4
3
．
（1）若橢圓的離心率e=
3
3
，求橢圓的方程；
（2）若M為橢圓上一點，
MF1
•
MF2
=1，求△MF1F2的面積最大時的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的焦點在x軸上，O為坐標原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點．若橢圓的長軸長是6，且cos∠OFA=
2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求點R（0，1）與橢圓C上的點N之間的最大距離；
（Ⅲ）設(shè)Q是橢圓C上的一點，過Q的直線l交x軸于點P（-3，0），交y軸于點M．若
MQ
=2
QP
，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在直線l：x-y+9=0上任取一點M，過M作以F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）為焦點的橢圓，當M在什么位置時，所作橢圓長軸最短？并求此橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的頂點為O（0，0），焦點F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作直線交拋物線于A、B兩點．若直線OA、OB分別交直線l：y=x-2于M、N兩點，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知O為坐標原點，F(xiàn)是拋物線E：y2=4x的焦點．
（Ⅰ）過F作直線l交拋物線E于P，Q兩點，求
OP
•
OQ
的值；
（Ⅱ）過點T（t，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A，B，C，D四點，且M，N分別為線段AB，CD的中點，求△TMN的面積最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過點P（1，1）作直線與雙曲線x2-
y2
2
=1交于A、B兩點，使點P為AB中點，則這樣的直線（　�。�
A．存在一條，且方程為2x-y-1=0
B．存在無數(shù)條
C．存在兩條，方程為2x±（y+1）=0
D．不存在

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